No estudo dos números, adotamos no nosso atual sistema numérico uma estruturação conhecida como sistema numérico de base 10, onde utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 podemos fazer a representação de diversos números, sejam eles para representar quantidades extremamente pequenas ou grandes, assim tendo cada algarismo possui o seu valor absoluto e o valor relativo, podemos assim destacar que dependendo da posição do algarismo em um número o mesmo pode representear desde a quantidade de dezenas como a de centenas e assim suscetivamente, dependendo apenas da posição que esse algarismo ocupará nesse número!
Diante disso podemos destacar que a mudança de base consiste, em representarmos números de diferentes bases em outras bases, a exemplo quando estamos trabalhando com um computador o mesmo trabalha efetuando cálculos com apenas dois simples algarismo o 1 e o 0, onde temos ai o sistema numérico de base binária, pois utilizamos apenas dois algarismos para representarmos diversas informações e efetuar vários cálculos que precisarmos.
Mudança da base 10 para uma base b qualquer
Para fazermos essa mudança de base, iremos pegar um caso geral em que para mudarmos um número da base 10 para uma certa base b iremos dividir esse número por b, e em seguida dividimos o quociente obtido por b novamente, e assim sucessivamente até obtermos um quociente menor que b, em seguida para representarmos esse número na base b iremos pegar o quociente obtido na ultima divisão seguido dos restos das divisões sucessivas que foram feitas, porém em ordem contrária a divisão, veja o exemplo abaixo:
Podemos observar que quando efetuamos a divisão do número 2.349 por 4 fazemos isso repetidamente até obtermos um quociente menos que o próprio 4. Logo o número 2.349 (base 10) escrito na base 4 será o número 210231. Escrivemos o número seguindo a sentido contrário o da divisão, como indica a seta em azul. Essa regra se aplica a qualquer número escrito na base 10 que desejemos escrever em qualquer outra base!
Mudança de uma base b qualquer para a base 10
Para fazermos o processo inverso e transformar um número escrito em uma base b, qualquer para a base 10 basta tomarmos os algarismos desse número e multiplicarmos cada algarismo pela potência da base desse números com expoentes em ordem crescente, para este caso iremos utilizar o exemplo que foi usado acima, onde pegaremos o número 210231 (na base 4) e escreveremos ele na base 10.
Podemos observar que fazemos a soma da multiplicação de cada algarismo que é multiplicado pelas potências de base 4, com os expoentes organizados de maneira crescente.
Observação: Quando temos um número que não esta escrito na base 10, e quisermos escreve-lo em outra base diferente de 10, primeiramente temos que escrever esse número na base 10 para depois reescreve-lo na outra base.
Exemplo: Se o número for base 4 e quisermos transformar para a base 6, primeiro fazemos da base 4 para a base 10, e depois da base 10 para a base 6
Exercícios
1) Escreva o número 1021 escrito na base 4 para a base 10
2) Escreva o número 201 escrito na base 10 para a base 8
3) (COVEST) No sistema binário, o numeral 1011 representa o número cuja expressão decimal é:
a) 12 b) 8 c) 10 d) 11 e) 9
4) (UNICAMP) Os números a = 2121 e b = 136 estão escritos nos sistemas de numeração de bases 3 e 7, respectivamente.
a) Como podemos determinar qual desses números é o maior?
b) Determine, então o maior deles.
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